┌──────────────────────────────────────┐
│入力シート.Shapes("TextBox").Copy                                           │
│With 出力シート                                                             │
│    .Cells(1, 1).Select                                                     │
│    .Paste                                                                  │
│End With                                                                    │
└──────────────────────────────────────┘
上記のような感じでいけた。

但し、オブジェクト名は初期化されるようで「TextBox1」とかになる。